日記
久しぶりにブログの更新をします。
今日はTSで発表してきたんですが、あんなに多くの人の前で話したのは初めてで無限に緊張しました。
聞いてくださった方々、ありがとうございました。
今日お話ししたのは、グラフの平面性を、グラフのもつ簡単な代数的構造で必要十分に特徴づけることができる。というものです。
以下にレジュメの誤植訂正版を置いておきます。
興味のある方は目を通していただけると幸いです。
https://www.dropbox.com/s/aep4f83tj2nh9e6/Planer.pdf?dl=0
検索ワード Kuratowskiの定理 MacLaneの定理
明日こそ
こんばんは、久しぶりに書いてみようと思いました。
期末試験も無事に終わり、なんとか留年の危機は免れました。英語を落としてしまって来年頑張らないとなあという感じです。
教養科目は出席しなければいけないから辛いですよね。
二月の一日から春休みに入ったわけですが、春休みは頑張るぞ～と思っていた事が何一つできていません。 みなさんも体調にはお気をつけください。
明日こそ体調を戻して勉強に専念したいです
そういえば来年度の数研(ゼミのような授業)の希望書も出さなければなので、ほんとに明日こそは....
進捗
お久しぶりです。
先週から実家に帰省してて、十分な進捗を生むぞと意気込んでたんですが結局だらけてしまってうまくいきませんでした。
そのなかでも少しだけ考えてたことがあって、
グラフ理論の授業で出てきた(らしい)次のような問題
(全部スマホで書いてて、Texとか使ってないし、多分見直しもしないので見づらかったり間違えていたら言ってくれると嬉しいです)
「下図のような正方形のボタンを並べた装置を考える。この装置のボタンは赤色、または青色の光を発していて各ボタンを押すごとに、そのボタンと上下左右のボタンの光が反転する。
いま、初期状態は全てのボタンが青であるとするとき、ボタンの配置に関わらず全てのボタンを赤に反転させる事ができるか」
この問題、答えとしては「出来る」で証明(もどき)は次のような感じ
*ここで言うグラフとは、有限集合VとE⊂[V]^2 の組G＝(V,E)のこと。グラフの頂点集合をV(G)、頂点数を|V(G)|で表すこととして、u∈V(G)に対してuに繋がってる辺の数をuの次数と呼んで、uに辺で繋がってる頂点のことをuの隣接点と呼ぶことにします。
∵装置を下図のようなグラフGとみなし、頂点数に関する帰納法で示す.
|V(G)|＝1のとき明らか.
任意の自然数nに対して,|V(G)|<nでの成立を仮定する.
ここで,
＊ある|V(G)|＝nなるグラフGに関して、「出来ない」と仮定する.
いま,帰納法の仮定より任意のu∈V(G)に対してある操作SuでGからuを除いたグラフは全てのボタンを反転できる.
また,＊の下でGに対してSuを行ってもuは反転しない.つまり＊の下で次の主張を得る
ゴミ1
任意のu∈V(G)に対して,ある操作Suでu以外のボタンを全て反転させることができる.
また、これより次の主張も得る
ゴミ2
任意のu,v∈V(G)に対して,ある操作SuとSvを連続して行うことでuとvだけを反転させることができる.
(∵まずGに対してSuを行うとuを除いて全て反転,次にSvを行うとvはそのままで他は全て反転.
従ってvは反転したまま,uもSuで反転するのでこの二つだけが反転したことになる)
次にGにおいて,全てのボタンを押した後の色の変化を考えることで次の主張を得る
Claim
全てのボタンを押すと
①次数が奇数の点→元の色に戻る
②次数が偶数の点→反転する
(∵全てのボタンを押すと,各ボタンは次数(隣接する点の和 数)＋1(自分自身)回色が変わる.
従って①→偶数回反転して元に戻る
②→奇数回反転して、元と逆の色になる
)
以上より，＊の下次の手順で全ての色を反転させることができる
(1)全てのボタンを押す
(2)反転していない点を2頂点ずつの組みに分ける*
(3)ゴミ2よりそれぞれの組みだけ反転させていくことで、全て反転する
従って|V(G)|＝nの時成立より、＊は矛盾.
帰納法より任意のnで出来る.
□
*(2)で、反転していない点を全て2頂点ずつに分けれる(次数が奇数の点は必ず偶数個)というのは任意の空でないグラフに対して言えることで、気になる人は 握手補題とかで調べてみて下さい。
少し面白くないですか？この議論
成立しないと仮定すると成立しちゃうってことですよね(帰納法の仮定も効いてる)
この問題で背理法を除いてみようと思ってここ数日少しだけ考えてたんですが、なかなかうまくいきませんでした。
多分原因は「下図のようなグラフを考える」みたいなところで議論を誤魔化してる所で、もう少しちゃんとグラフの言葉にしてあげないといけないなかな、と。
(そうしないと厳密に証明できたとは言えないし)
どうにか出来ないかもう少し考えてみることにします(できたらまたここで報告させてください)
おやすみ
今日は久々におやすみの日でした。
昨日、1階～19階まで階段を駆け上がったので筋肉痛がつらいです。
つらいので寝ます
おやすみなさい。
いつも通り
今日もやっぱり、いつも通り寝坊して遅刻でした。後期は頑張りたい。
いつも日記みたいなのを書いてて、数学の事とか書きたいなと思っててもブログの存在を思い出すのが寝る前とかなのでどうにもうまくいかないですね。
明日は全休なので、何かかけたら書きたいです
おやすみなさい。
明日も
前日ほぼ徹夜の状態で昨日は過ごしていたので昨日は早めに寝たつもりなのに、ずっと眠くて今日はお昼まで寝てました。
そこからだらだらしてたら5限にも遅刻してしまって、しかもたまたま小テストが行われていてほとんど解けなくて悲しくなりました。
明日もまた１限があるので早めに寝て朝に備えたいところですが、洗濯物がたまりすぎて着る服がないので今から洗濯機してコインランドリーで乾燥させてきます。(夜の12時)
それと、明日は奨学金の説明会に忘れずに行かなければ。
そういえば今日は先輩方とオムライスを食べてきました。
オムライスって見た目的には卵がトロトロで美味しそうに見えますけど、食べてみると主役は卵の中のご飯や、外にかかっているソースで少しだまされた気持ちになりますね。
でも美味しかったし、また行きたいです。
夏休みに部活の活動でボランティア的なことをやるんですが、その打ち上げの場所をそろそろ決めなければいけないっぽいです。打ち上げの場所って、何日くらい前までに予約するものなのでしょうか？
そこらへんの常識をしらないので、だれか教えてくれると嬉しいです。
書きながら思ったんですけど、ボランティアの後に打ち上げってマイナス＆マイナスで損することが嫌いな人は苦手なイベントなのかも知れませんね。(ぼくは結構好きですが)
無理に嫌がる人を誘うのは良くないのかもしれないですね。気をつけます。
成功
今日はようやく１限チャレンジを成功させることができました。
でも結局演習で発表することはなかったのであんまり行く意味はなかったのかもしれません。
やっぱり朝の満員電車は何回乗っても辛いですね。日本にはもう少し頑張って欲しいです。
今日は一日中眠くてなんにも集中できてない気がするので早めにねることにします。
そのうち数学っぽいことも何か書きます。
それでは。
